Entwicklung des 31-Ton-Systems

Wir beginnen mit vier übereinander gestapelten perfekten Quinten über einem beliebigen Ton, sagen wir C ( Pythagoräische Stimmung ). Die Frequenzverhältnisse sind:

Gemäß den Ideen der mitteltönischen Stimmung wollen wir nun aus C-E eine perfekte große Terz machen. Wir multiplizieren daher das Quintintervall mit

wobei die 4 im Nenner von der Verschiebung in eine Oktave kommt.

Da sich die Pythagoräische Quinte zu \( \log(3/2) \cdot 100/(\log(\sqrt[12]{2})) = 701,95500 \) Cents ergibt, gilt für die mit obigem Faktor multiplizierte Quinte: \( 701.955 - 5.3765724 = 696.5784276 \)

Zur Erinnerung: Ein Cent ist der 100ste Teil eines Halbtons in der gleichmäßig schwebenden Stimmung auf einer logarithmischen Skala.

Das gibt uns eine neue Tabelle (Noten sind jetzt Mittelton-Noten!):

Ergänzen wir das nun zu einem kompletten 12-Ton-Zyklus und starten, als Konvention, bei Eb:

Das D# existiert dabei nicht in der Mitteltonstimmung, es ist hier nur angegeben, um den Zirkel zu schließen (in der Annahme, dass Eb und D# aufeinander fallen). Da wir leicht verstimmte Quinten übereinander stapelten, kann sich der Mitteltonzirkel nicht schließen. Mit 12 Mittelton-Quinten landen wir 41,06 Cents zu kurz! Diese Intervall hat einen Namen, es heißt Diesis (einige Leute sagen "kleine" Diesis, da es ähnliche Intervalle mit anderen Definitionen und leicht veränderten Werten gibt - die spielen hier aber keine Rolle, daher lasse ich das "kleine" weg).

Die grundlegende Idee ist nun, diese Reihe fortzusetzen und zu sehen, wohin wir gelangen. Da wir das gewohnte 12-Ton-Schema damit verlassen, gebe ich den Tönen vorerst keine Namen, sondern nummeriere sie einfach durch.

Es gibt einen Fast-Treffer bezüglich einer akkuraten Zirkelschließung in Note Nummer 32. Sie liegt nur 6,068044 Cents daneben (215,93 Halbtöne liegt in der 17ten Oktave, daher ziehen wir 17*12 ab und kommen so zu 1193,9313, was eine Oktave 1200 minus 6,068044 ist). Das ist sehr nahe! Und mehr noch, mit einer solchen Serie von 31 Noten erkennen wir, dass wir ein in dem Sinn abgeschlossenes System zur Hand haben, dass wir frei zwischen den Tonarten modulieren können.

Wir vollziehen einen letzten Schritt, um den Zirkel wirklich perfekt zu machen: wir addieren 6,068044 / 31 = 0,195743 Cents zu jeder Quinte und erhalten so ein perfekt akkurates, gleichmäßiges, abgeschlossenes und frei modulierbares, nahezu akkurat alle Mitteltonstimmungen enthaltendes zirkuläres Stimmungs- oder Tonsystem mit 31 verschiedenen Noten. Der Faktor berechnet sich dann zu:

Und die angepasste Mittelton-Quinte berechnet sich zu:

in Cents .

Unsere finale Tabelle liest sich somit (wir zeigen hier nur die Cents):

Der kleinste Schritt in unserem neuen Tonsystem kann etwa zwischen Ton Nummer 1 und Ton Nummer 20 abgelesen werden, er beträgt 38,7097 Cents. Da er nahe am Wert zu der oben definierten Diesis liegt, nennen wir ihn ebenfalls Diesis, aber um den kleinen Unterschied darzustellen bezeichne ich ihn lieber als 31-Diesis.

Da wir Töne nahe an der Mitteltönischen Stimmung haben, führte ich in der obigen Tabelle wieder die gewohnten Noten-Namen ein, ergänzte aber um zwei neue Vorzeichen: ‡ für eine 31-Diesis nach oben und ъ für eine 31-Diesis nach unten. Die traditionelle Mitteltonstimmung findet sich in den Noten 29, 30, 31, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 wieder. Zu beachten ist, dass sich die Noten C,D,E,... nur näherungsweise an die Noten in der gleichschwebend temperierten Stimmung anlehnen. Es ist somit nicht möglich, mit einem herkömmlichen mechanischen Klavier "einige" 31-Ton-Musik Noten zu spielen!

Ein ъ is immer eine 31-Diesis über dem b als Vorzeichen, ein ‡ immer eine 31-Diesis unterhalb des #. Die "chromatische Skala" schreibt sich somit:

    C C‡ C# Db Dъ D D‡ D# Eb Eъ E E‡ E# F F‡ F# Gb Gъ G G‡ G# Ab Aъ A A‡ A# B Hъ H H‡ H# C

Außer Sie sind einer der wenigen Auserwählten auf diesem Planeten mit einem 31-Ton-Instrument, oder beherrschen auf einem Streichinstrument oder Blasinstrument derart feine Unterschiede, können Sie immer noch im 31-Ton-System komponieren und den Computer 31-Ton-Musik spielen lassen .