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Kompositionen - op.1 bis op.6

Die Musik und die Mathematik behandeln Dinge und die Gesetzmäßigkeiten ihrer Beziehungen. Bei der Mathematik sind das Zahlen und andere, vornehmlich abstrakte, Objekte, bei der Musik sind das Töne, Klänge und Rhythmen.

Was die Opus Eins bis Sechs angeht, liegt eine Gratwanderung zwischen freier musikalischer Idee und der Verbindung zu mathematischen Strukturen vor. Genauer übertrage ich die mathematischen Begriffe GRUPPE, KÖRPER und VEKTORRAUM in die Welt der Komposition. Wie genau das vonstatten gehen soll, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben.

GRUPPE

Ein Gruppe wird durch folgende Axiome definiert:

  1. Abgeschlossenheit: für alle a, b ϵ G gilt1: a ◊ b ϵ G, das heißt die Verknüpfung von zwei beliebigen Elementen aus G ergibt ein Element, welches auch in G liegt.
  2. Assoziativität: für alle a, b, c ϵ G gilt: (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c). Das heißt, es spielt für das Ergebnis keine Rolle, ob wir a mit b verknüpfen, und das Zwischenergebnis dann mit c, oder a mit dem Zwischenergebnis aus b verknüpft mit c.
  3. Neutrales Element: es gibt genau ein neutrales Element e ϵ G, für das gilt: für alle a ϵ G ist: a ◊ e = e ◊ a = a. Da heißt es gibt gibt immer ein Element, welches bei der Verknüpfung mit a nichts bewirkt, also wieder a ergibt.
  4. Inverses Element: zu jedem a ϵ G gibt es genau ein a-1 ϵ G, so dass gilt: a ◊ a-1 = e. Das heißt ein beliebiges Element mit seinem Inversen verknüpft ergibt das neutrale Element.
  5. (Optional, solche Gruppen heißen dann Abelsche Gruppen) Kommutativität: für alle a, b ϵ G gilt: a ◊ b = b ◊ a . Das heißt, nur falls die Gruppe eine Abelsche Gruppe ist, spielt die Reihenfolge bei der Verknüpfung keine Rolle.

Es gibt zu den natürlichen Zahlen ohne die Null genau eine endliche Gruppe mit der normalen Multiplikation als Verknüpfungsoperation: die Gruppe [{1,-1},⊗]. Die Multiplikation hat die bekannten natürlichen Eigenschaften: ⊗ : 1⊗1 = 1, 1⊗-1 = -1⊗1 = -1, -1⊗-1 = 1. Sie unterscheidet sich also von der gewohnten Multiplikation im Bereich ganzer Zahlen ℤ (ℤ = 0, +/-1, +/-2, +/-3, ...) nur durch den auf {-1,+1} eingeschränkten Wertebereich. Alle Gruppenaxiome einschließlich der Kommutativität lassen sich einfach überprüfen:

  1. 1⊗1 = 1, -1⊗1 = -1, 1⊗-1 = -1, -1⊗-1 = 1 gehören alle wieder zu {1,-1}.
  2. Die Multiplikation ist in der Menge aller ganzen Zahlen assoziativ, in unserem Fall, d.h. In {-1,1}, daher auch.
  3. Das neutrale Element ist 1.
  4. Es gibt immer ein inverses Element. In diesem Fall ist jedes Element zu sich selbst invers, 1 ⊗ 1 = 1 und -1 ⊗ -1 = 1.
  5. Die Gruppe ist außerdem kommutativ, da diese Eigenschaft bereits für die Menge der ganzen Zahlen vorliegt.

Bezogen auf die Musik nehmen wir nun folgende Entsprechung vor: bei einer Anzahl Töne, z.B C, D, E, F, G, A und H, betrachten wir jeden Ton einzeln, und assoziieren ihn mit +1, falls er klingt, und -1, falls er nicht klingt. Außerdem markieren wir einen nicht klingenden Ton mit einem Überstrich. Der Akkord C-E-G schreibt sich dann: C-D-E-F-G-A-H → (1, -1, 1, -1, 1, -1, -1).

Wir können nun mit Klängen gemäß der Gruppendefinition rechnen. Z.B. ist ein C-E-G ⊗ G-H-D gemäß der obigen Definition

C-E-G = C-D-E-F-G-A-H = (1, -1, 1, -1, 1, -1, -1)
G-H-D = C-D-E-F-G-A-H = (-1, 1, -1, -1, 1, -1, 1)
C-E-G ⊗ G-H-D = (1, -1, 1, -1, 1, -1, -1) ⊗ (-1, 1, -1, -1, 1, -1, 1)
= (-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1) = C-D-E-F-G-A-H
= F-G-A

Ein Klang, der durch die Multiplikation einen Klang A in einen Klang B überführt, also die Lösung der Gleichnung A ⊗ X = B, ergibt sich schlicht zu X = A ⊗ B. Wir können also zu allen möglichen Klangpaaren die Übergangsklänge recht einfach erzeugen, und haben so das Rüstzeug für ein Kompositionsprinzip zur Hand. Die Opus 1 und 2 basieren ausschließlich auf dieser Gruppenverknüpfung.

KÖRPER

Ein Körper ist die Erweitertung einer Gruppe um eine weitere Operation ⊕. Die genaue Definition spare ich mir, sie kann leicht per Lieblingssuchmaschine nachgeschlagen werden. Wir behalten nur die oben gegebene Definition für die Multiplikation ⊗ bei:

-11
-11-1
1-11

und setzen für die neue Addition: ⊕ = Restwert nach Division durch 3, genauer

-101
-11-10
0-101
101-1

Im Zuge der Additionsverknüpfung haben wir "0" als neuen Wert eingeführt. Statt nur in {-1;+1} mit den Interpretationen -1 = nicht klingend, +1 = klingend, halten wir uns jetzt in {-1;0;+1} auf. Für den neuen Wertesatz biten sich zwei Interpretationen an:

System A: +1 = klingend, 0 und -1 = nicht klingend
System B: -1 und +1 = klingend, 0 = nicht klingend

VEKTORRAUM

Ein Vektorraum V über einen Körper [K,⊕,⊗] ist eine additive Abelsche Gruppe (V,+), für die zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus K definiert ist:

· : K · V → V

Das heißt, die Multiplikation eines Elements aus V mit einem Skalar aus K ergibt wieder ein Element aus V.

Für die Elemente eines Vektorraums lassen sich viele interessante Eigenschaften ableiten. Eine davon ist, dass sich für Vektorräume Basissysteme bilden lassen, das sind für M Dimensionen M Vektoren a1, a2, ..., aM und für diese Basissystem gilt dann, dass sich jeder Vektor v aus dem Raum als Linearkombination

v = c1 · a1 + c2 · a2 + ... + cM · aM
darstellen lässt. (c1, c2, ..., cM) nennt sich dann die Repräsentation des Vektors v in der gegebenen Basis.

Einen Klang K aus dem Zwöltonsystem können wir jetzt als Vektor in einem 12-dimensionalen Vektorraum ansehen, und, gegeben eine Basis von 12 Basisvektoren, oder Basisklängen bi, können wir K = ∑ici·bi schreiben. Eine sehr nahe liegende Basis sind die einzelnen Töne C, #C, D, #D, ..., A#, H als Basisvektoren:

b1 = C
b2 = #C
b3 = D
b4 = #D
b5 = E
b6 = F
b7 = #F
b8 = G
b9 = #G
b10 = A
b11 = #A
b12 = H

Der Klang C-E-G schreibt sich dann wie erwartet (1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0).

Viele andere Basissyseme sind möglich, z.B.

b1 = C-E-G
b2 = F-A-C
b3 = G-H-D
b4 = C-bE-G
b5 = F-bA-C
b6 = G-B-D
b7 = A-C-E
b8 = D-F-A
b9 = E-G-H
b10 = A-#C-E
b11 = D-#F-A
b12 = C

und C-E-G schreibt sich darin dann (1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

In Vektorräumen sind sogenannte lineare Abbildungen definiert, die sich zu einem gegebenen Basissystem als Matrizen schreiben lassen:

K' = T·K

Ein Beispiel wäre die Transposition um eine große Terz. Die dazugehörige Abbildung schreibt sich in der Basis C-#C-D-...-#A-H wie folgt:

\[ T = \left( \begin{array}{cccccccccccc} . & . & . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 1 & . & \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 1 & \\ 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & \\ . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & \\ . & . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & \\ . & . & . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & \\ . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & \\ . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . & . & \\ . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . & \\ . & . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & \end{array} \right) \]

mit "." für die "0".

Andere Abbildungen sind Spiegelungen, Stauchungen, Projektionen, und Drehungen. Eine mögliche Erweiterung wäre auch das Zulassen von Zahlen mit Nachkommaanteilen. Diese müssten dann noch passend interpretiert werden, auf diese Weise erhalten wir aber dafür zusätzliche Kompositionstechniken.

Die Opus 3 bis 6 basieren auf Vektorräumen und linearen Transformationen darin.

Die Werke

Opus 1 - Multiplikative Gruppe I

Das Werk basiert auf der oben beschriebenen Gruppe [{1,-1},⊗] über dem Tonvorrat B - C - G - D - E - H - #F. Es besteht aus mehreren Ebenen: Ebene I enthält die Multiplikatoren / Klänge:

  [1,1,1,1,1,1,1,1,1]	≙ B-F-C-G-D-A-E-H-#F
  [1,1,·,·,1,·,·,·,·] 	≙ B-D-F
  [·,1,1,·,·,1,·,·,·] 	≙ F-A-C
  [·,·,1,1,·,·,1,·,·] 	≙ C-E-G
  [·,·,·,1,1,·,·,1,·] 	≙ G-H-D
  [·,·,·,·,1,1,·,·,1] 	≙ D-#F-A
  [·,·,·,·,1,1,·,·,1] 	≙ D-#F-A
  [·,·,·,1,1,·,·,1,·] 	≙ G-H-D
  [·,·,1,1,·,·,1,·,·] 	≙ C-E-G
  [·,1,1,·,·,1,·,·,·] 	≙ F-A-C
  [1,1,·,·,1,·,·,·,·] 	≙ B-D-F

Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich "·" für "-1". Der erste Klang ist die Identität, die restlichen zehn stellen eine Art Rücklaufrondo dar. Hintereinander ausgeführt heben sie sich alle auf. Ebene II enthält die Multiplikatoren

  [1,1,1,1,1,1,1,1,1]	≙ B-F-C-G-D-A-E-H-#F
  [1,1,·,1,·,1,·,1,1] 	≙ B-F-G-A-H-#F
  [·,·,1,·,1,1,1,·,1] 	≙ C-D-A-E-#F
  [1,1,·,1,·,1,·,1,1] 	≙ B-F-G-A-H-#F
  [·,·,1,·,1,1,1,·,1] 	≙ C-D-A-E-#F

Auch diese heben sich bei Hintereinanderausfürung gegenseitig auf. Ebene III schließlich enthält

  [1,1,1,1,1,1,1,1,1]	≙ B-F-C-G-D-A-E-H-#F
  [1,·,1,·,1,·,1,·,1] 	≙ B-C-D-E-#F
  [·,1,·,1,·,1,·,1,·] 	≙ F-G-A-H
  [·,1,·,1,·,1,·,1,·] 	≙ F-G-A-H
  [1,·,1,·,1,·,1,·,1] 	≙ B-C-D-E-#F

Die Komposition startet mit dem Klang: A - C - #F - E - G - H. Es wird der Reihe nach mit den Multiplikatoren aus den Ebenen multipliziert, und zwar hierarchisch:

K · E11 · E21 · E31
K · E11 · E21 · E32
K · E11 · E21 · E33
...
K · E11 · E22 · E31
K · E11 · E22 · E32
...
K · E11 · E23 · E31
...
K · E11 · E25 · E31
...
K · E12 · E21 · E31
...

Dabei erfolgt eine Multiplikation mit Klängen aus Ebene III nur dann, wenn der Klang bis dahin sowohl C als auch H enthält. Das führt zu 120 Klängen, die gleichmäßig auf 120 Takte aufgeteilt werden. Leere Klänge werden durch den systemfremden Ton bE abgemildert. Melodik und Rhythmik sind ansonsten frei.

Der Notensatz findet sich hier, in Youtube gibt es ein Video hier.

Opus 2 - Multiplikative Gruppe II

In diesem Werk wird von siebzehn Klängen eines tonalen Satzes ausgegangen. Hier wird durch Verknüpfung je zweier Nachbarklänge eine Reduktion auf sechzehn Klänge vorgenommen, dann werden wieder zwei Nachbarn verknüpft, wodurch wir zu fünfzehn Klänen gelangen, usw. bis nur noch ein Klang übrig bleibt. Die 1 + 2 + ... + 17 Klänge werden dann in umgekehrter Reihenfolge abgespielt, d.h. zuerst der eine Klang aus der vollständigen Reduktion, dann die zwei Klänge von dem Schritt zuvor, dann drei, dann vier, usw. Mit den Klängen wird ansonsten frei verfahren.

Durch den Einsatz des chromatischen Tonvorrats treten im Allgemeinen sehr dichte atonale Klänge auf. Das Wechselspiel zwischen den atonalen Klangfolgen, ihrem tonalen Ursprung, verschiedenen Tempi und Taktarten, dazu verschiedene Stringenz in der Verwendung aller möglichen Töne eines Klangs und der Verwendung oder Nichtverwendung von Nebennoten (tatsächlich sind Nebennoten eher selten), machen den Charakter dieses Werkes aus.

Die Noten finden sich hier, ein Youtube Video hier.

Opus 3 - Lineare Transformation I

Die Klänge dieses Werkes halten sich im Vektorraum über dem Körper [{0,-1,1},+;·] gemäß oben gegebener Definition auf. Dabei kommen zwei Basissysteme zum Einsatz:

BAS1 =

C – G – D – A – E – H – #F
C – E – G
D – #F – A
E – #G – H
#F – #A – #C
bA – C – bE
B – D – F
bD – F – bA
bE – G – B
F – A – C
G – H – D
A – #C – E

und BAS2 =

#F – #C – #G – #D – B – F – C
C – E – G
bE – G – B
#F – #A – #C
A – #C – E
bD – F – bA
E – #G – H
G – H – D
B – D – F
D – #F – A
F – A – C
bA – C – bE

Die Transformationsmatrix beim Übergang von BAS1 nach BAS2 wird als lineare Abbildung umgedeutet und berechnet sich zu: T = BAS2 · BAS1-1, dabei werden die Klänge der Basis jeweils als Spaltenvektoren herangezogen und eine Matrixmultiplikation vorgenommen.

Konkret ergibt sich:

\[ T = \left( \begin{array}{cccccccccccc} -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \\ -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & \\ 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 & \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & \\ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & \end{array} \right) \]

Op. 3 ist eine Ausführung von einfachen und mehrfachen Abbildungen per T. Bei mehrfachen Abbildungen gilt, dass vor jeder weiteren Abbildung eine Reduktion auf die +1 -Werte erfolgt, das heißt alle Koordinatenwerte -1 werden gestrichen und durch 0 ersetzt. Motivik, Rhythmik und Metrik sind ansonsten frei gewählt.

Die Noten finden sich hier, ein Youtube Video hier.

Opus 4 - Lineare Transformation II

Opus 4 bewegt sich wie Opus 3 im Vektorraum über den Körper [{0,-1,1},+,·]. Die Abbildung aus Opus 3 wird dabei noch einmal verwendet. Motivik und Rhythmik sind aber von Opus 3 verschieden. Ein weiterer Unterschied ist, dass Abbildungen nicht nur von Gesamtklängen, sondern auch von Klangbestandteilen, zum Beispiel induziert durch die Aufteilung auf zwei Instrumente, vorgenommen werden.

Die Noten finden sich hier, ein Youtube Video hier.

Opus 5 - Lineare Transformation III

Opus 5 bewegt sich wie die Opus 3 und 4 im Vektorraum über den Körper [{0,-1,1},+,·]. Auch die dort verwendete Abbildung noch einmal verwendet. Im Unterschied zu den Opus 3 und 4, wo wir von Klangketten ausgingen und diese einmal oder zweimal abbildeten, gehen wir im Opus 5 von nur zwei Klängen aus und wenden die Abbildung vielfach an.

Die beiden verwendeten Klänge sind: D - #F - #A - #C - F und B - bE - bA - bD.

Hier sind die Noten und ein Youtube Video.

Opus 6 - Kontinuum I

Opus 6 behandelt Klänge mit reellwertigen Koordinaten. Dabei betrachten wir eine Mischform aus einer Verteilung der Noten gemäß ihres Zahlenwerts sowohl auf die Stimmen als auch auf die Betonungsstufen. Die verwendeten Klänge entstanden aus einer Gram-Schmidt Orthogonalisierung:

  K1 = (1;0;0;  0;1;0;  0;1;0;  0;1;0)
  K2 = (0;1;0;  0;0;1;  0;0;1;  0;0;1)
  K3 = (0.75;0;1;  0;-0.25;0;  1;-0.25;0;  1;-0.25;0)
  K4 = (-0.4;0.75;0.13;  1.0;-0.53;-0.25;  0.13;0.47;-0.25;  0.13;0.47;-0.25)
  K5 = (-0.63;-0.29;1;  0.4;0.74;-0.69;  -0.18;-0.05;0.49;  -0.18;-0.05;0.49)
  K6 = (0.27;-0.51;-0.15;  1;0.23;0.58;  -0.58;-0.25;-0.04;  0.47;-0.25;-0.04)
  K7 = (-0.42;0.41;-0.41;  0.17;1;0.18;  0.76;-0.95;-0.3;  0.07;0.38;-0.3)
  K8 = (-0.6;-0.34;0.54;  -0.16;0.1;0.98;  0.28;0.54;-1;  -0.22;-0.04;0.37)
  K9 = (0.23;-0.56;-0.28;  0.62;-0.18;0.11;  1;0.2;0.49;  -0.96;-0.26;-0.03)
  K10 = (-0.3;0.26;-0.41;  -0.04;0.52;-0.14;  0.22;0.78;0.12;  0.49;-1;-0.23)
  K11 = (-0.45;-0.26;0.32;  -0.24;-0.06;0.53;  -0.04;0.15;0.73;  0.17;0.36;-1)
  K12 = (-0.65;-0.88;-0.8;  -0.1;-0.33;-0.25;  0.45;0.22;0.29;  1;0.76;0.84)
wobei orthogonal bedeutet, dass für alle möglichen Paare (Ki;Ki) gilt: ∑mKim·Kjm = 0.

Zum Umgang mit den Nachkommastellen unterteilen wir das Intervall [0; 1] in die fünf Teile

  [0;p]    ]p;p+λ]    ]p+λ; p+2λ]    ]p+2λ; p+3λ]    ]p+3λ; 1],  λ = (1-p)/4   
wobei das erste Intervall für eine Pause steht, und der Rest gleichmäßig auf vier Instrumente verteilt wird. Die vier Instrumente bilden eine Streichquartett mit erster und zweiter Violine, Viola und Cello. Der Parameter p, welcher den Anteil an Pausen bestimmt, wird für die verschiedenen Teile des Werkes unterschiedlich groß gewählt. Jedes Instrument-Intervall wird wieder in drei gleiche Teile für die Betonungszuordnung an Halbe, Viertel und Achtel geteilt.

Hier sind die Noten und ein Youtube Video.